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一道代数证明题的几何解释

时间:2018/1/5 14:36:30 点击:

  核心提示:数学老师上课讲这道题时,用的是纯代数的放缩法,很多同学感到很难掌握,其实,...

一道代数证明题的几何解释

高二五班 王正阳

 

证明:1+1/√+1/√+……+1/√>√(n∈N

  数学老师上课讲这道题时,用的是纯代数的放缩法,很多同学感到很难掌握,其实,用几何图形可以更直观地展现放缩法在解题中的应用,帮助同学们更好地理解和掌握。在证明的过程中用到了转化,看似复杂的问题转化成为简单的问题,并且找到了它的规律,问题就迎刃而解了。

 

如图,△OA是直角边长为1的等腰直角三角形,OA=√,以OA为直角边,A为直角顶点作出长度为1的另一条直角边,构造RtOA2A3,用同样的方法,以上一个直角三角形的斜边为一条直角边,1为另一条直角边的长度构造直角三角形

已知OA=1 OA=√,由勾股定理,OA=√,OA=2,以此类推,OA=√

过每个直角三角形的直角顶点作斜边垂线A,A,A……An-1n-1 ,每个直角三角形被它的这条垂线分为两个较小的相似的直角三角形,并且他们都与原来那个直角三角形相似。较短的那条直角边与斜边的长度比为1:√n(例如:在Rt⊿OA中, Rt⊿OA∽Rt⊿A∽Rt⊿OA)

所以,A:A=A:OA,A:A=A:OA……An-1:An-1=An-1:OAn  

=A=……=An-1=1

=√2  2 =√3  ……An-1=√

要证1+1/√+1/√+……+1/√>√n ,先从证明1+1/√>√2 开始

1+1/√>√2 

即1>√2 -1/√=1/√,显然成立

Rt⊿OA中,OA=A=1,OA=√,OB=OA-A2 -1/√=1/√,由上述证明可得OAOB,因为OA是Rt⊿OA的斜边,OB是同一个直角三角形的一条直角边,显然斜边长度大于直角边,OAOB成立。

 

这时,问题转化成为证明Rt⊿OA斜边OA>直角边OB(n为任意正整数)

 

再证明1+1/√+1/√>√

即证1+1/√>√-1/√

Rt⊿OA中,OAOB-1/√OAOB-1/√

∵已经证明1+1/√>√2 

∴1+1/√>√2 >√-1/√

∴同理可证1+1/√+1/√+……+1/√>√

 

 

作者:王正阳 来源:高二五班
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